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图书分类

Book classification
  1. 本书内容涵盖:分数阶常微分方程的block-by-block算法;分数阶方程的block-by-block算法的最优阶收敛性分析;二维分数阶Volterra积分方程的修正block-by-block方法;非线性二维Volterra积分方程的一个高阶数值格式;非线性Volterra积分方程组的一个高阶数值格式;分数阶扩散方程的一个新的高阶数值格式;时间分数阶扩散方程的有限差分谱高阶逼近。
  2. 前  言
    分数阶微积分理论是数学分析的一个分支,是专门研究任意阶积分和微分的数学性质及其应用的领域,是传统的整数阶微积分的推广. 分数阶微积分的概念有很长的历史,最早提出这一思想的是数学家Leibniz. 1695年,他在给L’Hopital的信中首次提出了 阶导数,在他之后,1730年,Euler观察到 的非整数 阶导数 是有意义的;1812年,Laplace提出了对可用积分 表示的函数进行非整数阶微分的思想;1822年,Fourier建议用公式
     
    来定义非整数阶导数,Abel(1823—1826年)、Liouville(1832—1873年)、Riemann(1847年)等先后在该领域也做出了杰出的贡献. 在近几十年里,研究者们发现,分数阶微积分算子与整数阶微积分算子不同,具有非局部性,从而非常适用于描述现实生活中具有记忆和遗传特性的材料.
    分数阶导数主要有以下优势:
    (1)分数阶导数具有全局相关,能较好地体现系统函数发展的历史依赖过程;而整数阶导数具有局部性,不适合描述历史依赖过程.
    (2)分数阶导数模型克服了经典整数阶微分模型理论与实验结果吻合不好的缺点,使用较少几个参数就可获得很好的效果.
    (3)在描述复杂物理力学问题时,与非线性模型比较,分数阶模型的物理意义更清晰,表述更简洁.
    在近三个世纪里,对分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进行,似乎它只对数学家们有用. 然而在近几十年来,分数阶微分积分方程越来越多地被用来描述光学和热学系统、统计模型、流变学及材料和力学系统、信号处理和系统识别、控制和机器人及其他应用领域中的问题. 分数阶微积分理论也越来越多地受到国内外学者的广泛关注,特别是从实际问题中抽象出来的分数阶微分方程成为很多数学工作者的研究热点. 随着分数阶微分积分方程在越来越多的科学领域里出现,无论对分数阶微分积分方程的理论分析还是数值计算的研究都显得尤为迫切. 然而由于分数阶微分是拟微分算子,它的保记忆性(非局部性)对现实问题进行了优美刻画的同时,也给我们的分析和计算造成很大困难. 
    在数值算法方面主要存在的问题有:
    (1)长时间历程问题一直没有找到一个满意的解决途径. 在数值模拟中,随着时间历程的增加,计算量成指数增长,同时一些学者提出的短期记忆方法只对很少一些情况有效,并不具有普适性. 因而长时间历程问题的解决任重而道远.
    (2)没有开发出时间-空间混合的分数阶导数方程的算法和软件. 一种数学工具要在工程中有广泛的应用,就必须有成熟的算法与软件,如有限元的计算模拟软件就有很多,所以有限元才能在工程界有如此广泛的应用.
    (3)分数阶导数的定义还不完善. 现在分数阶导数的定义有多种,至今还没有一个完善到大多数学者都能够接受的定义.
    现阶段,分数阶微分积分方程的数值算法主要包括:①有限差分法:显示格式,隐式格式,Crank-Nicholson格式,预估校正算法,线性算法等;②级数逼近法:变分迭代法,Adomian分解法,同伦摄动法,通伦分析法,微分转换法等;③有限元法;④无网格方法;⑤一些新的算法:矩阵转化法,外推法等.
    鉴于此,发展新的数值算法,特别是在保证计算可靠性和精度的前提下,提高计算效率,解决分数阶微分积分方程计算量和存储量过大的难点问题,发展相应的计算应用软件成为迫切需要关注的课题. 本书将介绍一些分数阶微分积分方程的数值方法,可以供对分数阶微分积分方程数值解感兴趣的读者阅读.
    在本书完成之际,我们要感谢我们的老师、同学、亲友、领导和同事,他们一直以来的支持和帮忙让我们克服了种种困难,并不断进步. 特别是要感谢中国科学院数学与系统科学研究院的崔俊芝院士,厦门大学数学科学学院的许传炬教授,郑州大学数学与统计学院的宋士仓教授,贵州大学理学院张大凯教授,感谢你们将我们带入更高的科研之门,使我们在科研道路上找准方向.
    感谢贵州民族大学校领导和理学院领导对我们的大力支持和关心以及同事们的热情鼓励和帮助. 同时感谢贵州省科技厅自然科学基金(〔2013〕2144,〔2014〕2098)、国家自然科学基金数学天元基金项目(11426074)和贵州省教育厅2014年教改项目“高等数学课程教学改革与应用型少数民族人才培养的研究”的资助.
    谨以此书献给我们的恩师和父母,以及所有给予我们关心和帮助的人.


    作  者  
    2015年1月
     
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  1. 目  录
    1  绪  论 1
    1.1  国内外研究现状和相关科学问题 1
    1.2  基础知识 4
    2  分数阶常微分方程的block-by-block算法 19
    2.1  block-by-block数值格式 19/>2.2  辅助结果 23
    2.3  收敛性分析 38
    2.4  数值结果 41
    3  分数阶方程的block-by-block算法的最优阶收敛性分析 44
    3.1  block-by-block算法的构造 44
    3.2  辅助结果 45
    3.3  截断误差的估计 48
    3.4  稳定性和收敛性分析 57
    4  二维分数阶Volterra积分方程的修正block-by-block方法 63
    4.1  数值格式的构造 63
    4.2  数值算例 73
    5  非线性二维Volterra积分方程的一个高阶数值格式 75
    5.1  解的存在唯一性 75
    5.2  高阶数值格式的构造 77
    5.3  辅助结果 84
    5.4  收敛性分析 93
    5.5  数值算例 95
    6  非线性Volterra积分方程组的一个高阶数值格式 96
    6.1  高阶格式的构造 96
    6.2  收敛性分析 102
    6.3  数值算例 106
    6.4  其他更高阶格式 107
    6.5  收敛性分析 110
    7  分数阶扩散方程的一个新的高阶数值格式 113
    7.1  格式的构造 113
    7.2  预备知识 122
    7.3  稳定性分析 126
    7.4  数值算例 126
    8  时间分数阶扩散方程的一个有限差分谱高阶逼近 130
    8.1  有界区域上时间分数阶扩散方程的解析解 130
    8.2  时间方向的有限差分格式 131
    8.3  空间谱方法 143
    8.4  数值试验 153
    9  时间分数阶扩散方程的一个更高阶有限差分谱高阶逼近 159
    9.1  有限差分的时间离散格式 159
    9.2  空间谱方法 175
    9.3  数值试验 177
    参考文献 184...查看更多
  2. 王自强,贵州民族大学理学院,副教授,博士,研究领域:微分方程数值解、计算流体力学、分数阶模型及其复合材料多尺度计算。出版学术专著《复合材料的多尺度分析》一部。
    曹俊英,贵州民族大学理学院,教授,博士,研究领域:微分方程数值解、计算流体力学、分数阶模型及其计算。出版学术专著《分数阶微分方程的高阶数值方法研究》一部。

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