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图书分类

Book classification
  1. 本书针对复合材料及其结构的热传导问题、热-力耦合和力-电耦合问题给出了多尺度计算方法及其理论分析. 本书共分为八章,第一章给出了复合材料的多尺度分析方法;第二章介绍了小周期参数的椭圆形方程的均匀化理论;第三章介绍了两种多尺度算法;第四、五章给出了小周期复合材料热传导问题的二阶双尺度展开式及其收敛性分析;第六至八章分别研究了复合材料板的弯曲、热-力耦合和力-电耦合问题的二阶多尺计算方法.<...查看更多
  2. 序   言
    科学和工程中的许多问题都涉及多种尺度. 对于多尺度问题,由于其巨大的计算量使得传统的数值方法难以直接求解,因此人们希望找到既能节省计算时间又可以保持计算精度的多尺度计算方法,以求解多尺度问题. 目前为止,已经有一些经典的多尺度计算方法,如多重网格方法、均匀化方法、小波数值均匀化方法、多尺度有限元法、非均匀化多尺度方法等,这些方法在很多科学和工程领域中的应用已取得了一定的成功.
    很多自然科学和工程的问题都具有多尺度的特征:例如材料的微损伤有大小不同的尺度,多孔介质的孔径大小存在着不同的尺度等;然而,在实际应用中却常常忽略多尺度特征而采用经验模型. 这些模型在应用中取得很大的成功,但经验模型也存在本身的局限性,主要体现在:(1)由于模型的误差很大,导致很多问题求解的精度不高;(2)完全忽略细观结构的影响,不能完全反应问题本身的自然特征;(3)缺乏可靠的理论基础.
    因此,对于很多问题,人们希望建立能反映自然属性,精度更高且具有理论基础的多尺度模型. 在建立多尺度模型的同时,首先必需考虑问题自身的特征. 按照问题的特征可以把多尺度问题分为以下几类:
    第一类:这类多尺度问题包含了孤立的瑕点或奇异点,比如裂痕、断层、突变以及接触线. 对于这类问题,只需要在孤立的瑕点或奇异点附近建立细观尺度的模型,其它区域满足某个宏观模型即可. 这样,细观尺度的模型只需在很小的计算区域里求解.
    第二类:这类多尺度问题存在相关的宏观模型,但宏观模型不清晰,不能直接用于求解. 典型的一个例子是均匀化问题,这时系数为,其中表示细观尺度,虽然与宏观变量x相关的宏观模型确实存在,但宏观模型不明确.
    第三类:这类多尺度问题的细观结构具有强烈的不规则性,难以找到相关的宏观模型.
    随着多尺度模型的发展,还会出现更多类型的多尺度问题,对各类多尺度问题的求解引起了人们广泛的关注,也推动了多尺度计算方法的发展. 很多科学和工程问题都存在多尺度问题,多尺度模拟是一个典型的跨学科问题,它涉及数学、化学、物理、工程、计算机科学、环境科学、统计学、金融数学等学科,越来越受到科学家的重视. 很多科学和工程问题都存在多尺度问题. 对于多尺度问题,传统的数值方法需要在细尺度上求解,即要对求解区域进行非常精细的剖分. 精细剖分产生的节点过多,往往需要很大的计算量而导致计算时间过长. 若只在粗尺度上求解,则会忽略细尺度的信息. 因此,人们一直致力于寻求既可以节省计算时间又可以保持计算精度的新数值方法来求解多尺度问题,从而推动了多尺度计算方法的发展.
    随着多尺度问题在工程中的应用越来越广泛,基于多尺度问题求解的复杂性,国内外学者提出了一些多尺度计算方法,这些数值方法主要可分为传统的多尺度计算方法和近年来发展的多尺度计算方法. 传统的多尺度计算方法包括多重网格法、自适应方法等. 其中多重网格方法通过粗网格校正和误差光滑技术,在减小工作量的同时保证了细尺度上解的计算精度. 然而,传统的多尺度计算方法需要在细观尺度上求解原问题,使得在解决很多实际问题时仍需要巨大的计算量,甚至难以求解. 因此,人们希望找到更有效的数值方法来求解多尺度问题.
    近年来发展的多尺度计算方法包括多尺度有限体积法(Multi-sacle Finite Volume Method)、多尺度有限元法(Multi-seale Finite Element Methods)、均匀化方法(Homogenization Method)、非均匀化多尺度方法(Heterogeneous Multi scale Method)等.
    多尺度有限体积法是由Jnny等提出的,多尺度有限元方法是由Bbauska、Hou等提出的. 这两类方法在宏观尺度上进行网格剖分,然后通过在每个单元里求解细观尺度的方程(构造线性或者振荡的边界条件)来获得基函数. 从而把细观尺度的信息反应到有限元法或有限体积法的基函数里,使宏观尺度的解包含了细观尺度的信息. 但多尺度有限元方法和多尺度有限体积法在构造基函数时需要较大的计算量.
    均匀化方法是一种多尺度分析的方法. 该方法通过对单胞问题的求解,把细观尺度的信息映射到宏观尺度上,从而推导出宏观尺度上的均匀化等式,即可在宏观尺度上求解原问题. 均匀化方法在很多科学和工程应用中取得了巨大成功. 崔俊芝院士在均匀化理论的基础上,提出了可计算的双尺度渐近分析模式,并给出了相应的有限元算法及其误差分析. 该算法可以很好地处理周期复合材料的热传导问题、弹性力学问题、热力耦合问题等. 该算法的优点是只需在宏观区域上求解均匀化问题的均匀化解,在参考单胞上求解局部单胞函数组,利用渐近展开式把均匀化解和局部单胞函数族组装成为求解周期复合材料的多尺度算法.
    本书为复合材料热传导行为分析和复合材料板的热-力耦合、力-电耦合弯曲行为分析提供一套理论上可靠的高性能数学方法,为复合材料及其板、壳结构设计,性能优化提供技术支持和理论依据.



    曹俊英  
    2014年4月
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  1. 目  录
    第1章  绪  论 1
    1.1  研究背景 1
    1.2  预备知识 8
    第2章  含有高阶振荡参数椭圆型方程的多尺度渐近展开式 15
    2.1  数学模型 15
    2.2  数学模型 16
    2.3  多尺度渐近展开式的收敛性分析 19
    第3章  数值多尺度算法 22
    3.1  基于多尺度渐近分析的有限元算法 22
    3.2  多尺度有限元算法 28
    第4章  小周期复合材料热传导问题的二阶双尺度渐近展开及
    收敛性分析 41
    4.2  收敛性分析 46
    4.3  高-低阶的半离散二阶双尺度有限元分析 51
    4.4  全离散双尺度有限元格式的误差估计 55
    4.5  热传导问题的二阶双尺度算法和数值算例 59
    第5章  平面复合材料热传导问题的一个新的多尺度渐近展开式 64
    5.1  传统的渐近展开式和已知结果 64
    5.2  新的渐近展开式和误差分析 66
    5.3  高-低阶的半离散二阶双尺度有限元分析 68
    5.4  新的二阶双尺度有限元方法的全离散误差分析 73
    5.5  热传导问题的二阶双尺度算法和数值算例 77
    第6章  复合材料板弯曲问题的二阶双尺度方法及其近似性分析 83
    6.1  二阶双尺度近似解的构造 83
    6.2  均匀化板问题的求解 88
    6.3  二阶双尺度近似解的近似性分析 95
    6.4  二阶双尺度算法和数值例子 105
    第7章  复合材料板静态热力耦合问题的二阶双尺度算法 110
    7.1  数学模型 110
    7.2  位移场的二阶双尺度近似解的构造和
    均匀化板问题的求解 113
    7.3  二阶双尺度算法和数值例子 122
    第8章  压电复合材料板的二阶双尺度算法 129
    8.1  稳态力-电耦合问题的二阶双尺度展开式 129
    8.2  压电复合材料板的均匀化力-电耦合问题的求解 133
    8.3  二阶双尺度算法和数值例子 136
    参考文献 140





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