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图书分类

Book classification
  1. 本书结合小学3至6年级小学奥数的学习内容,重点选讲了计算、数论、行程问题、工程问题、典型应用题及逻辑问题共六大模块。“奥数”本是“奥林匹克数学” 的简称,它是一门特殊的学科,而小学奥数主要面向小学中、高段的学生,小学阶段儿童的思维正处于形象思维向抽象思维过渡阶段,借助于“奥数”对学生进行思维训练,可以拓展儿童思维的广阔性,增加思维的灵活性和思考问题的深刻性。作为培养初等教育师资的初等教育专业,非常...查看更多
  2. 奥数全称是“奥林匹克数学”,起源于“数学是思维的体操”,它体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共性:更快、更高、更×强. 其实,称奥数为“竞赛数学”更为准确,因为它体现了数学的巧思、灵活、多变与渗透其中的数学美学. 奥数具有很强的逻辑性和连贯性,因为新知识往往建立在旧知识的基础之上,学习奥数也无形中锻炼了学生的逻辑思维能力. 奥数有着太多的独特之处,也正是这些独特之处才更能培养学生的良好习惯,训练学生的思维. 小学奥数很有用,它所传授的内容小学生可能不能完全理解,但是随着学习知识的增多,他们会发现,从小学奥数中学到的方法和思维能为他们以后的学习打下坚实的基础. 奥数有着很美的名字,相信学习它的人也会因它而拥有美好的人生. 
    本教材结合小学三年级至六年级奥数的学习内容,重点选讲了计算、数论、行程问题、工程问题、典型应用题、逻辑问题. 参加编写的教师有杨应、熊洪丽、代丽娟、卿雪梅,其中杨应负责第一模块的编写;熊洪丽负责第二、三模块的编写;卿雪梅负责第三、四、六模块的编写;代丽娟负责第五模块的编写. 
    本书适用的读者对象:从事小学教育的教师以及小升初的六年级学生.
    由于时间仓促和编者水平有限,本教材还存在一些不足之处,敬请广大读者和同行提出宝贵意见,以便及时改进. 
    ...查看更多
  1. 第一讲  速算与巧算
    在小学数学中,关于整数、小数、分数的四则运算,怎么样才能算得既快又准确呢?这就需要我们熟练地掌握计算法则和运算顺序,根据题目本身的特点,综合应用各种运算定律和性质,或利用和、差、积、商变化规律及有关运算公式,选用合理、灵活的计算方法. 
    速算与巧算(即简便算法)对于提高计算速度、培养逻辑思维能力和计算能力,有良好作用. 在小学奥数竞赛试题中,经常会出现一些计算题目,如果按常规的思考方法进行计算,则既费时又容易出错,但若善于观察题目的数字特点,利用凑整、拆项、改变运算顺序、递推归纳等方法进行巧算与速算,往往能化难为易,事半功倍. 
    【基础知识】
    一、常用的运算定律及性质
    加法交换律:a+b=b+a.
    加法结合律:a+b+c=a+(b+c)=(a+b)+c.
    减法的性质:a-b-c=a-(b+c).
    乘法交换律:a×b=b×a.
    乘法结合律:a×b×c=a×(b×c)=(a×b)×c.
    乘法分配律:a×(b+c)=a×b+a×c;
    a×(b-c)=a×b-a×c.
    除法的性质:a÷b÷c=a÷(b×c).
    二、平方、立方公式
    完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2;
    (a-b)2=a2-2ab+b2;
    (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.
    平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).
    完全立方公式:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;
    (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.
    立方差公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).
    三、数列及其公式
    等差数列:一个数列从第二项起每一项与它的前一项之差等于同一个常数. 
    通项公式:an=a1+(n-1)d. 
    求项数公式:n= +1.
    求和公式:S= .
    四、分数计算的技巧
    常用分数的拆分和裂项公式:
    (1) (k为正整数).
    (2) .
    (3) .
    (4) (a>1, k>1).
    (5)对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即 形式的,这里我们把较小的数写在前面,即a<b,则有 (a,b为正整数). 
    五、循环小数化为分数
     = .
     = .
     = . 
    【例题分析】
    下面介绍几种常见的速算与巧算方法.
    一、改变运算顺序
    例1  求1到100的自然数的和. 
    解(解法一)1+2+3+…+100
    =(1+100)+(2+99)+…+(50+51)
    = 
    =5050. 
    (解法二)  设S=1+2+3+…+100,则
    S=100+99+…+2+1.
    两式相加得                2S= =101×100.
    所以                         S=(101×100)÷2=5050.
    高斯的故事:高斯(1777—1855)是德国著名的大科学家,他最出名的故事就是在他10岁时,小学老师出了一道算术难题:“计算1+2+3+…+100=?”这下可难倒了刚学数学的小朋友们,他们按照题目的要求,正把数字一个一个地相加时,却传来了高斯的声音:“老师,我已经算好了! 老师很吃惊,高斯解释道:因为
    1+100=101,2+99=101,3+98=101,…,49+52=101,50+51=101,
    而像这样的等于101的组合一共有50组,所以答案很快就可以求出
    1+2+3+…+100=101×50=5050.
    解法一称为“高斯配对法”. 
    例2  计算:25+53+75+78+47.
    解  原式=(25+75)+(53+47)+78
    =100+100+78
    =278.
    例3  计算:2+4+6+…+100-1-3-5-…-99. 
    解  原式=(2-1)+(4-3)+(6-5)+…+(100-99)
    = 
    =50. 
    二、凑整法
    下面介绍利用互补数进行加减法的巧算. 所谓“补数”即两个数相加,若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…,就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”. 如:
    1+9=10,3+7=10,5+5=10,11+89=100,33+67=100,44+56=100,55+45=100,
    称1是9的“补数”;89是11的“补数”,11也是89的“补数”,也就是说两个数互为“补数”. 对于一个较大的数,如何能很快地算出它的“补数”呢?一般来说,可以这样“凑”数:从最高位凑起,使各位数字相加得9,到最后个位数字相加得10. 如: 87655→12345,87362→12638,….
    利用“补数”巧算加减法,通常称为“凑整法”. 
    例4  巧算下面各题:
    (1)34+85+66;
    (2)1361+972+639+28;
    (3)13+76+275+111+725. 
    解  (1)原式=(34+66)+85
    =100+85
    =185. (2)原式=(1361+639)+(972+28)
    =2000+1000
    =3000.
    (3)原式=(13+76+111)+(275+725)
    =200+1000
    =1200. 
    例5  巧算下面各题:
    (1)189+872;
    (2)547+997;
    (3)9898+203.
    解  (1)原式=(189+11)+(872-11)
    =200+861
    =1061. (2)原式=(547-3)+(997+3)
    =544+1000
    =1544.
    (3)原式=(9898+102)+(203-102)
    =10000+101
    =10101.
    例6  巧算下面各题:
    (1)300-73-27;
    (2)1000-90-80-20-10.
    解  (1)原式=300-(73+27)
    =300-100
    =200. (2)原式=1000-(90+80+20+10)
    =1000-200
    =800.
    例7  巧算下面各题:
    (1)4723-(723+189);
    (2)2356-159-256.
    解  (1)原式=(4723-723)-189
    =4000-189
    =3811. (2)原式=(2356-256)-159
    =2100-159
    =1941.
    例8  巧算下面各题:
    (1)506-397;
    (2)323-189;
    (3)467+997;
    (4)987-178-222-390.
    解  (1)原式=500+6-400+3
    =109. (2)原式=323-200+11
    =123+11
    =134.
    (3)原式=467+1000-3
    =1464. (4)原式=987-(178+222)-390
    =987-400-400+10
    =197.
    例9  计算:9+99+999+…+9999999999. 
    解  原式=10+100+1000+…+10000000000-10
    =11111111100. 
    例10  计算:11+192+1993+19994+199995. 
    解  原式=(10+1)+(200-8)+(2000-7)+(20000-6)+(200000-5)
    =222210+1-26
    =222185.
    例11  计算下面各题:
    (1)100-(10+20+30);
    (2)100-(30-10)
    解  (1)原式=100-10-20-30
    =40. (2)原式=100-30+10
    =80.
    例12  计算下面各题:
    (1)100-10-20-30;
    (2)100-30+10.
    解  (1)原式=100-(10+20+30)
    =100-60
    =40. (2)原式=100-(30-10)
    =100-20
    =80.
    例13  计算325+46-125+54.
    解  原式=325-125+46+54
    =(325-125)+(46+54)
    =200+100
    =300.
    注意:每个数前面的运算符号就是这个数的符号,如+46,-125,+54. 而325前面虽然没有符号,但应看作+325. 
    三、计算等差连续数的和
    相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数,又叫等差数列,其和S= .如:(1)1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15; 
    (2)2, 4, 6, 8, 10;
    (3)3, 6, 9, 12, 15;
    (4)4, 8, 12, 16, 20. 
    这些都是等差连续数. 
    1. 等差连续数的个数是奇数时,它们的和等于中间数乘个数.
    例如: 4+8+12+16+20
    =12×5(中间数是12,共有5个数)
    =60.
    2. 等差连续数的个数是偶数时,它们的和等于首数与末数之和乘个数的一半.
    例如:2+4+6+8+10+12+14+16+18+20
    =(2+20)×5(共10个数,个数的一半是5,首数是2,末数是20)
    =110.
    四、基准数法
    几个比较接近于某一整数的数相加时,选这个整数为“基准数”.  这种方法适用于加数较多,而且所有的加数相差不大的情况. 各数与基准数的差的和叫做累计差. 于是得:
    1. 总和数=基准数×加数的个数+累计差.
    2. 平均数=基准数+累计差÷加数的个数. 
    在使用基准数法时,应选取与各数的差较小的数作为基准数,这样才容易计算累计差. 同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来,所以基准数应尽量选取整十、整百的数. 
    例14  计算:102+100+99+101+98.
    解  (解法一)仔细观察,可知各个加数都接近100,所以选100为基准数,采用基准数法进行巧算. 
    102+100+99+101+98
    =100×5+2+0-1+1-2
    =500.
    (解法二)仔细观察,可将5个数重新排列如下:(实际上就是把有的加数带有符号搬家,可发现这是一个等差连续数的求和问题,中间数是100,个数是5).
    102+100+99+101+98
    =98+99+100+101+102
    =100×5
    =500.
    例15  计算:389+387+383+385+384+386+388.
    解  认真观察每个加数,发现它们都和整数390接近,所以选390为基准数. 
    389+387+383+385+384+386+388
    =390×7-1-3-7-5-6-4-2
    =2730-28
    =2702. 
    想一想:可否用其他数作基准数进行巧算呢?
    例16  某农场有10块麦田,每块的产量如下(单位:千克):
    462, 480, 443, 420, 473, 429, 468, 439, 475, 461,
    求平均每块麦田的产量. 
    解  选基准数为450,
    则累计差=12+30-7-30+23-21+18-11+25+11=50,
    平均每块产量=450+50÷10=455(千克). 
    答:平均每块麦田的产量为455千克. 
    五、乘除法的巧算
    1. 两数的乘积是整十、整百、整千的,要先乘. 为此,要牢记下面这三个常用等式:
    5×2=10,25×4=100,125×8=1000.
    例17  计算下面各题:
    (1)123×4×25;
    (2)125×2×8×25×5×4.
    解  (1)原式=123×(4×25)
    =123×100
    =12300. (2)原式=(125×8)×(25×4)×(5×2)
    =1000×100×10
    =1000000.
    2. 分解因数,凑整先乘. 
    例18  计算下面各题:
    (1)24×25;
    (2)56×125;
    (3)125×5×32×5.
    解  (1)原式=6×(4×25)
    =6×100
    =600. (2)原式=7×8×125
    =7×(8×125)
    =7×1000=7000.
    (3)原式=125×5×4×8×5
    =(125×8)×(5×5×4)
    =1000×100
    =100000.
    3. 应用乘法分配律. 
    例19  计算下面各题:
    (1)175×34+175×66;
    (2)67×12+67×35+67×52+6.
    解  (1)原式=175×(34+66)
    =175×100
    =17500. (2)原式=67×(12+35+52+1)
    =67×100
    =6700.
    例20  计算下面各题:
    (1)123×101;
    (2)123×99.
    解  (1)原式=123×(100+1)
    =123×100+123
    =12300+123
    =12423. (2)原式=123×(100-1)
    =12300-123
    =12177.
    4. 几种特殊因数的巧算. 
    (1)一个数×10,数后添0;一个数×100,数后添00;一个数×1000,数后添000;……以此类推. 
    如:15×10=150;
    15×100=1500;
    15×1000=15000.
    (2)一个数×9,数后添0,再减此数;一个数×99,数后添00,再减此数;一个数×999,数后添000,再减此数;……以此类推. 
    如:12×9=120-12=108;
    12×99=1200-12=1188;
    12×999=12000-12=11988.
    (3)一个偶数乘以5,可以除以2添上0. 
    如:6×5=30;
    16×5=80;
    116×5=580. 
    (4)一个数乘以11,“两头一拉,中间相加”. 
    如:2222×11=24442;
    2456×11=27016.
    (5)一个偶数乘15,“加半添0”. 
    如:24×15=(24+12)×10=360.
    (6)个位为5的两位数的自乘:
    十位数字×(十位数字+1)×100+25.
    如:65×65=6×(6+1)×100+25=4225;
    95×95=9×(9+1)×100+25=9025.
    例21  计算:9999×2222+3333×3334.
    解  此题如果直接乘,数字较大,容易出错. 如果将9999变为3333×3,规律就出现了. 
    9999×2222+3333×3334
    =3333×3×2222+3333×3334
    =3333×6666+3333×3334
    =3333×(6666+3334)
    =3333×10000
    =33330000. 
    例22  计算:1999+999×999.
    解  (解法一)1999+999×999
    =1000+999+999×999
    =1000+999×(1+999)
    =1000+999×1000
    =1000×(999+1)
    =1000×1000
    =1000000. 
    (解法二) 1999+999×999
    =1999+999×(1000-1)
    =1999+999000-999
    =(1999-999)+999000
    =1000+999000
    =1000000. 
    5. 在除法中,利用商不变的性质巧算.
    商不变的性质是:被除数和除数同时乘以或除以相同的数(零除外),商不变. 利用这个性质巧算,使除数变为整十、整百、整千的数,再除. 
    例23  计算下面各题:
    (1)3300÷25;
    (2)44000÷125.
    解  (1) 3300÷25
    =(3300×4)÷(25×4)
    =13200÷100
    =132. (2) 44000÷125
    =(44000×8)÷(125×8)
    =352000÷1000
    =352.
    6. 在乘除混合运算中,乘数和除数都可以带符号“搬家”. 
    例24  计算:864×27÷54.
    解  864×27÷54
    =864÷54×27
    =16×27
    =432.
    7. 当n个数都除以同一个数后再加减时,可以将它们先加减之后再除以这个数. 
    例25  计算下面各题:
    (1)21÷5-6÷5;
    (2)187÷12-63÷12-52÷12.
    解  (1)21÷5-6÷5
    =(21-6)÷5
    =15÷5
    =3. (2)187÷12-63÷12-52÷12
    =(187-63-52)÷12
    =72÷12
    =6.
    8. 在乘除混合运算中“去括号”或添“括号”的方法:如果“括号”前面是乘号,去掉“括号”后,原“括号”内的符号不变;如果“括号”前面是除号,去掉“括号”后,原“括号”内的乘号变成除号,原除号就要变成乘号. 添括号的方法与去括号类似. 
    即a×(b÷c)=a×b÷c;
    a÷(b×c)=a÷b÷c;
    a÷(b÷c)=a÷b×c.(从左往右看是去括号,从右往左看是添括号.)
    例26  计算下面各题:
    (1)1320×500÷250;
    (2)4000÷125÷8;
    (3)5600÷(28÷6);
    (4)372÷162×54;
    (5)2997×729÷(81×81).
    解  (1)1320×500÷250
    =1320×(500÷250)
    =1320×2
    =2640. (2)4000÷125÷8
    =4000÷(125×8)
    =4000÷1000
    =4.
    (3)5600÷(28÷6)
    =5600÷28×6
    =200×6
    =1200. (4)372÷162×54
    =372÷(162÷54)
    =372÷3
    =124.
    (5)2997×729÷(81×81)
    =2997×729÷81÷81
    =(2997÷81)×(729÷81)
    =37×9
    =333.
    六、小数的巧算
    例27  计算:9.996+29.98+169.9+3999.5.
    解  原式=10+30+170+4000-(0.004+0.02+0.1+0.5)
    =4210-0.624
    =4209.376.
    这几个数中的每个数只要增加一点,就成为某个整十、整百或整千数,把这几个数“凑整”以后,就容易计算了. 当然要记住,“凑整”时增加了多少要减去多少. 
    例28  计算:1+0.99-0.98-0.97+0.96+0.95-0.94-0.93+…+0.04+0.03-0.02-0.01.
    解  1+0.99-0.98-0.97+0.96+0.95-0.94-0.93+…+0.04+0.03-0.02-0.01
    =(1+0.99-0.98-0.97)+(0.96+0.95-0.94-0.93)+…+(0.04+0.03-0.02-0.01)
    =0.04×25
    =1.
    如果能够灵活地运用数的交换规律,也可以按下面的方法分组添上括号计算:
    1+0.99-0.98-0.97+0.96+0.95-0.94-0.93+…+0.04+0.03-0.02-0.01
    =1+(0.99-0.98-0.97+0.96)+(0.95-0.94-0.93+0.92)+…+(0.03-0.02-0.01)
    =1.
    例29  计算0.1+0.2+0.3+…+0.8+0.9+0.10+0.11+0.12+…+0.19+0.20.
    解  0.1+0.2+0.3+…+0.8+0.9+0.10+0.11+0.12+…+0.19+0.20
    =(0.1+0.9)×9÷2+(0.10+0.20)×11÷2
    =4.5+1.65
    =6.15.
    这个算式的数的排列像一个等差数列,但仔细观察,它实际上由两个等差数列组成:0.1+0.2+0.3+…+0.8+0.9是第一个等差数列,后面每一个数都比前一个数多0.1;而0.10+0.11+0.12+…+0.19+0.20是第二个等差数列,后面每一个数都比前一个数多0.01,所以应分为两段按等差数列求和的方法来计算.
    例30  计算:9.9×9.9+1.99.
    解  9.9×9.9+1.99
    =99×0.99+0.99+1
    =(99+1)×0.99+1
    =100.
    算式中的9.9×9.9两个因数中一个因数扩大到原来的10倍,另一个因数缩小到原来的 ,积不变,即这个乘法可变为99×0.99;1.99可以分成0.99+1的和,这样变化以后计算比较简便.
    例31  计算:2.437×36.54+243.7×0.6346.
    解  2.437×36.54+243.7×0.6346
    =2.437×36.54+2.437×63.46
    =2.437×(36.54+63.46)
    =243.7.
    虽然算式中的两个乘法计算没有相同的因数,但前一个乘法的2.437和后一个乘法的243.7这两个数的数字相同,只是小数点的位置不同,如果把其中一个乘法的两个因数的小数点按相反方向移动同样多位,使这两个数变成相同的,就可以运用乘法分配律进行简算了.
    例32  计算:1.1×1.2×1.3×1.4×1.5.
    解  1.1×1.2×1.3×1.4×1.5
    =1.1×1.3×0.7×2×1.2×1.5
    =1.001×3.6
    =3.6036.
    算式中的几个数虽然是一个等差数列,但算式不是求和,不能用等差数列求和的方法来计算这个算式的结果.
    注意到7, 11和13这三个数连乘的积是1001,而一个三位数乘1001,只要把这个三位数连续写两遍就是它们的积. 例如, 578×1001=578578. 这一题参照这个方法计算,能巧妙地算出正确的得数.
    例33  计算: +0.125+ + .
    解  原式= 
    = 
    = 
    = 
    =0.625.
    例34  纯循环小数 化为最简分数时,其分子、分母的和为58,求三位数 . 
    解  设 = = ( 为最简分数),则由题设得
    a+b=58,1≤b<29≤a≤57.
    而999=3×3×3×37,则
    a=37,b=58-37=21.
    所以                          =21×3×3×3=567. 
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  1. 绪   论  1
    模块一  计  算
    第一讲  速算与巧算  7
    第二讲  比较大小、估算  22
    模块二  数  论
    第一讲  整除、奇偶性  31
    第二讲  质数与合数、约数与倍数 43
    模块三  行程问题
    第一讲  相遇问题  53
    第二讲  追及问题  59
    第三讲  行程问题之间隔发车问题  64
    四讲  流水行船问题  69
    模块四  工程问题
    第一讲  分数、百分数应用题  75
    第二讲  工程问题  80
    第三讲  浓度与经济问题  86
    模块五  典型应用题
    第一讲  植树与方阵  93
    第二讲  年龄问题  97
    第三讲  鸡兔同笼问题  101
    第四讲  盈亏问题  105
    第五讲  牛吃草问题  109

    模块六  逻辑问题
    第一讲  逻辑推理、统筹与策略  117
    第二讲  容斥原理、抽屉原理  122
    参考答案  127
    参考文献 142
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